Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．

（1）如圖①，當AD與邊BC相交，點D與點F在直線AC的兩側時，BD與CF的數量關系為___________．

（2）將圖①中的菱形ADEF繞點A在平面內逆時針旋轉α（0°＜α＜180°）．

Ⅰ．判斷（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②證明你的結論．

Ⅱ．若AC=4，AD=6，當△ACE為直角三角形時，直接寫出CE的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）I（1）中的結論仍然成立，理由詳見解析；II或

【解析】

（1）根據等式的性質得出∠BAD=∠CAF，利用SAS證明△ABD與△ACF全等，再利用全等三角形的性質得出即可；

（2）I．根據等式的性質得出∠BAD=∠CAF，利用SAS證明△ABD與△ACF全等，再利用全等三角形的性質得出即可；

II．當△ACE是直角三角形時，存在兩種情況：

①如圖2，當∠ACE=90°時，②如圖3，當∠EAC=90°時，勾股定理即可得CE的長．

（1）解：如圖①，∵四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°，

∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠DAC+∠CAF=60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF；

故答案為：BD=CF；

（2）I．（1）中的結論仍然成立．

證明：如圖②，∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

在菱形ADEF中，

∴AD=AF，AF∥DE，

∴∠DAF=180°-∠ADE=180°-120°=60°，

∴∠BAC=∠DAF，

即∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF；

II．當△ACE是直角三角形時，存在兩種情況：

①如圖2，當∠ACE=90°時，過F作FG⊥AE于G，

∵四邊形ADEF是菱形，

∴AF=FE，∠AFE=∠ADE=120°，

∴∠AFG=60°，

∴∠FAG=30°，

∵AF=AD=6，

∴FG=3，

∴AG=3，

∴AE=2AG=6，

Rt△ACE中，CE==；

②如圖3，當∠EAC=90°時，同理得：AE=6，

由勾股定理得：CE==．

綜上所述，CE的長為或．