Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為C（0，），與x軸交于A、B兩點，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P從點B出發，以每秒1個單位的速度向點A運動，同時點Q從點C出發，以每秒v個單位的速度向y軸負方向勻速運動，運動時間為t秒，連接PQ交射線BC于點D，當點P到達點A時，點Q停止運動，以點P為圓心，PB為半徑的圓與射線BC交于點E．

①求BE的長；當t＝1時，求DE的長；

②若在點P，Q運動的過程中，線段DE的長始終是一個定值，求v的值及DE長．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣；（2）①當t＝1時， DE＝1為定值；②在點P運動的過程中，v＝，線段DE的長是定值1．

【解析】

（1）由拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C（0，-），可得對稱軸，將拋物線解析式改為頂點式，將A（-1，0）代入即可；
（2）連接PE，過D作D⊥y軸于H，設DH=a，設經過t秒時，①當0＜t＜1時，利用△QDH∽△QPO即可得DE的長與t無關，為定值；當t=1時，易得DE=CE=BC=1為定值；②當1＜t≤2時，△QDH∽△QPO，可得DE為定值．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為C（0，﹣），

∴拋物線的對稱軸是y軸，

∴b＝0，

設拋物線的解析式為y＝ax2﹣，把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣，得a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣；

（2）如圖1，連接PE，過D作D⊥y軸于H，設DH＝a，

設經過t秒時，PB＝t，CQ＝vt，

①當0＜t＜1時，

∵PB＝PE＝t，∠PBE＝60°，

∴△PBE是等邊三角形，

∴BE＝PB＝t；

又 OP＝1﹣t，CQ＝vt，QH＝HC+CQ＝vt+a，QO＝OC+CQ＝vt+，

∵△QDH∽△QPO，

∴，即，

∴a＝，

∴DC＝2DH＝，

∴DE＝CB﹣EB﹣DC＝2﹣t﹣＝t+，

依題意，DE為定值，故當v＝時，DE的長與t無關，即DE＝1；

當t＝1時，P到O點，C與D重合，顯然DE＝CE＝BC＝1為定值；

②如圖2，當1＜t≤2時，OP＝PB﹣OB＝t﹣1，

∵DH＝a，CH＝a，QH＝CQ﹣CH＝vt﹣a，QO＝CQ+OC＝vt+，

同理，△QDH∽△QPO，得，即，

∴a＝，

∴DC＝2DH＝，

∴DE＝DC+CE＝+（2﹣t）＝t+，

依題意，DE為定值，故當v＝時，DE＝1，

綜上所述，在點P運動的過程中，v＝，線段DE的長是定值1．