Question

【題目】如圖，已知頂點為D的拋物線與x軸交于A(－1，0)，C(3，0)兩點，與y軸交于B點．

(1)求該拋物線的解析式及點D坐標；

(2)若點Q是該拋物線的對稱軸上的一個動點，當AQ＋QB最小時，直接寫出直線AQ的函數解析式；

(3)若點P為拋物上的一個動點，且點P在x軸上方，過P作PK垂直x軸于點K，是否存在點P使得A,K,P三點形成的三角形與△DBC相似?如存在，求出點P的坐標，如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，；（2）直線的函數解析式為.（3）存在點或，使得點三點圍成的三角形與△DBC相似.

【解析】

（1）把A、C兩點坐標代入求出a，c的值即可；

（2）由拋物線的對稱性找出點B關于對稱軸對稱點E，連接AE，則AE的長即為AQ+BQ的最小值，運用待定系數法可求出AQ的解析式；

（3）先證明△DBC是直角三角形，設，則，再根據或列出比例式，得出關于t的方程，求解即可.

（1）∵拋物線與x軸交于A(－1，0)，C(3，0)兩點

∴ 根據題意，把A（-1，0），C（3，0）兩點代入，

得

解得

∴拋物線的解析式為

∵

∴

（2）當x=0時，y=3，

∴，

則點B 關于對稱軸對稱的點的坐標為（2，3）

連接AE，交拋物線對稱軸于Q，則AE即為AQ+QB的最小值，

設AQ的解析式為：y=kx+b,

把A（-1，0），E(2,3)代入得，，

解得，

∴最小時，直線的函數解析式為.

（3）過作垂直軸交于點，過作垂直于點，如圖，

在中，

∴，是直角三形，

∴,

若點三點圍成的三角形與△DBC相似，則或

則或

即或

設，則

得或

得或

解得，或（舍去），或

∴存在點或，使得點三點圍成的三角形與△DBC相似.