Question

【題目】已知正方形ABCD，過點B有一條直線1與正方形ABCD的對角線AC所在直線相交于點G，過點C、A分別作直線1的垂線段CE、AF于點E、F，對角線AC、BD相交于點O，連接OE、OF．

（1）如圖1，猜測OE、OF有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；

（2）若正方形邊長為10．

①若直線1在如圖1的位置，當時，求EG的長；

②若直線1在如圖2的位置，當時，請直接寫出EG的長．

Answer 1

【答案】（1）OE＝OF，OE⊥OF．理由見解析；（2）①EG＝；②EG＝2．

【解析】

（1）根據題意設OB交AF于J．證明△AFB≌△BEC（AAS），可得結論OE=OF，OE⊥OF；

（2）①根據題意作OH⊥BE于H．想辦法證明EH=EC=FH=OH，設EC=a，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出a，再證明EG=GH即可解決問題；

②根據題意作OH⊥BE于H．首先證明OH-EH=HF=2EC，設EC=m，在Rt△BCE中，利用勾股定理求出m，再證明EG=EH即可解決問題．

解：（1）結論：OE＝OF，OE⊥OF．

理由：如圖1中，設OB交AF于J．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠ABC＝90°，

∴∠BOC＝90°，

∵CE⊥BE，AF⊥BF，

∴∠CEB＝∠AFB＝90°，

∴∠ABF+∠CBE＝90°，∠CBE+∠ECB＝90°，

∴∠ABF＝∠ECB，

∴△AFB≌△BEC（AAS），

∴CE＝BF，

∵EC⊥BE，AF⊥BE，

∴EC∥AF，

∴∠ECO＝∠OAF，

∵∠OAF+∠AJO＝90°，∠BJF+∠OBF＝90°，∠AJO＝∠BJF，

∴∠OAF＝∠OBF＝∠OCE，

∴△ECO≌△FBO（SAS），

∴OE＝OF，∠EOC＝∠FOB，

∴∠EOF＝∠COB＝90°，

∴OE⊥OF．

（2）①如圖1中，作OH⊥BE于H．

∵OE＝OF，∠EOF＝90°，

∴EH＝FH，

∴OH＝EH＝FH，

∴OE＝EH，

∵OE＝CE，

∴EC＝FH＝BF，

設EC＝a，則BE＝3a，

在Rt△BCE中，∵BC2＝CE2+BE2，

∴10a2＝100，

∴a＝，

∴EC＝EH＝，

∵∠CEG＝∠OHG＝90°，∠EGC＝OGH，EC＝OH，

∴△CEG≌△OHG（AAS），

∴EG＝GH＝EH＝．

②如圖2中，作OH⊥BE于H．

∵OE＝OF，∠EOF＝90°，

∴EH＝FH，

∴OH＝EH＝FH，

∴OE＝EH，

∵OE＝2CE，

∴EH＝OH＝FH＝2CE，

∵∠AFB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，

∴∠ABF+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，

∴∠ABF＝∠BCE，

∵AB＝BC，

∴△BEC≌△AFB（AAS），

∴EC＝BF，

∴BF＝BH，設EC＝m，則BE＝3m，

在Rt△BCE中，∵BC2＝CE2+BE2，

∴10m2＝100，

∴m＝，

∴EC＝，EH＝2，

∵CE⊥OH，

∴△GEC∽△GHO，

∴＝＝，

∴EG＝GH＝2．