Question

【題目】提出問題：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點O，求證：AE=DH；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點H，E，G，F分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數量關系，并說明理由；

（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO．

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH．

（2）

解：EF=GH．

將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．

將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根據（1）的結論得AM=DN，所以EF=GH

（3）

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD

∴∠AHO=∠CGO

∵FH∥EG

∴∠FHO=∠EGO

∴∠AHF=∠CGE

∴△AHF∽△CGE

∴

∵EC=2

∴AF=1

過F作FP⊥BC于P，

根據勾股定理得EF= ，

∵FH∥EG，

∴

根據（2）知EF=GH，

∴FO=HO．

∴ ，

，

∴陰影部分面積為 ．

【解析】（1）由正方形的性質得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；（2）EF=GH．將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據（1）的結論得AM=DN，所以EF=GH；（3）易得△AHF∽△CGE，所以 ，由EC=2得AF=1，過F作FP⊥BC于P，根據勾股定理得EF= ，因為FH∥EG，所以 ，根據（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH與三角形EOG的面積相加即可．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．