Question

【題目】（1）操作發現：如圖1，D是等邊三角形ABC邊BA上一動點（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊三角形DCF，連接AF．你能發現線段AF與BD之間的數量關系嗎？并證明你發現的結論．

（2）類比猜想：如圖2，當動點D運動到等邊三角形ABC邊BA的延長線上時，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請證明；如果不成立，是否有新的結論？如果有新的結論，直接寫出新的結論，不需證明．

（3）深入探究：①如圖3，當動點D在等邊三角形ABC的邊BA上運動時（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊在其上方、下方分別作等邊三角形DCF和等邊三角形DCF'，連接AF，BF′．探究AF，BF′與AB有何數量關系？并證明你發現的結論。

②如圖4，當動點D在等邊三角形ABC的邊BA的延長線上運動時，其他作法與圖3相同，①中的結論是否仍然成立？如果成立，請證明；如果不成立，是否有新的結論？如果有新的結論，直接寫出新的結論，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）BD=AF，理由見解析；（2）成立，BD=AF，理由見解析；（3）①AB=AF+BF'，理由見解析；②不成立，新結論為AB=AF-BF'，理由見解析

【解析】

（1）證明△BCD≌△ACF即可解題；

（2）證明△BCD≌△ACF即可解題；

（3）①證明△BCD≌△ACF和△BCF'≌△ACD可得BD=AF和AD=BF'即可解題；

②證明△BCD≌△ACF和△BCF'≌△ACD可得BD=AF和AD=BF'即可證明新結論．

（1）∵∠BCA=∠DCF，

∴∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

BC＝AC，∠BCD＝∠ACF，CF＝CD，

∴△BCD≌△ACF，（SAS），

∴BD=AF；

（2）∵∠BCA=∠DCF，

∴∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

BC＝AC，∠BCD＝∠ACF，CF＝CD，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

（3）①∵∠BCA=∠DCF，

∴∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

BC＝AC，∠BCD＝∠ACF，CF＝CD，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF

∵∠BCA=∠DCF'，

∴∠BCF'=∠ACD，

在△BCF'和△ACD中，

BC＝AC，∠ACD＝∠BCF，′CD＝CF′，

∴△BCF'≌△ACD（SAS），

∴AD=BF'，

∴AB=AF+BF'；

②不成立，新結論為AB=AF-BF'．

證明∵∠BCA=∠DCF，

∴∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

BC＝AC，∠BCD＝∠ACF，CF＝CD，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

∵∠BCA=∠DCF'，

∴∠BCF'=∠ACD，

在△BCF'和△ACD中，

BC＝AC，∠ACD＝∠BCF′，CD＝CF′，

∴△BCF'≌△ACD（SAS），

∴AD=BF'，

∴AB=AF-BF'．