Question

【題目】正方形ABCD的邊長為8，點P是邊AD的中點，點E是正方形ABCD的邊上一點，若是等腰三角形，則腰長為______．

Answer 1

【答案】5或或

【解析】

分情況討論：當PB為腰時，若P為頂點，則E點和C點重合，求出PB長度即可；若B為頂點，則E點為CD中點；
當PB為底時，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點E；

①由題意得出，證明∽，得出比例式，即可求出BE；②設，則，根據勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．

分情況討論：
當PB為腰時，若P為頂點，則E點與C點重合，如圖1所示：

四邊形ABCD是正方形，
，，
是AD的中點，
，
根據勾股定理得：；
若B為頂點，則根據得，為CD中點，此時腰長；
當PB為底邊時，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點E；

當E在AB上時，如圖2所示：

則，
，，
∽，
，即，
；

②當E在CD上時，如圖3所示：

設，則，
根據勾股定理得：，，
，
解得：，
，
；
綜上所述：腰長為：，或5，或；
故答案為：，或5，或．