Question

【題目】如圖，二次函數y=-x2+ax+b的圖象與x軸交于A（-，0），B（2，0）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；

（2）設P是x軸上方的拋物線上的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、A 、M為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）P(,1 ) (0，1).

【解析】試題分析：

（1）由已知條件可設二次函數的解析式為： ，化簡整理為一般形式即可；由所得解析式可得點C的坐標為（0，1），再由勾股定理求得AC2、BC2、AB2，最后由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可知∠ACB=90°，由PM⊥x軸可得∠PMA=90°，即∠ACB=∠PMA=90°，

因此當：①或②時，以點P、M、A為頂點的三角形與△ABC相似；設出點P的坐標，分以上兩種情況討論、計算即可.

試題解析：

(1)二次函數的圖象與軸交于A，B兩點，

∴ 拋物線的解析式為，即： ；
∴點C的坐標為（0，1）；
∴AC2=AO2+CO2=，

BC2= BO2+CO2=5，

AB2=；
∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；

（2）如圖，∵PM⊥x軸，

∴∠PMA=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠PMA.

所以當： 或時，以點P、M、A為頂點的三角形與△ABC相似，

由點P在二次函數的圖象上，可設其坐標為： ，

則由已知可得：PM=，AM= ，由此可得：

或 ，

解得： （不合題意，舍去）或（不合題意，舍去），

∴存在點P使以點P、M、A為頂點的三角形與△ABC相似，其坐標分別為： 和.