Question

【題目】如圖1是一款“雷達式”懶人椅．當懶人椅完全展開時，其側面示意圖如圖2所示，金屬桿AB、CD在點O處連接，且分別與金屬桿EF在點B，D處連接．金屬桿CD的OD部分可以伸縮（即OD的長度可變）．已知OA＝50cm，OB＝20cm，OC＝30cm．DE＝BF＝5cm．當把懶人椅完全疊合時，金屬桿AB，CD，EF重合在一條直線上（如圖3所示），此時點E和點A重合．

（1）如圖2，已知∠BOD＝6∠ODB，∠OBF＝140°．

①求∠AOC的度數．

②求點A，C之間的距離．

（2）如圖3，當懶人椅完全疊合時，求CF與CD的長．

Answer 1

【答案】（1）①120°，②70cm；（2）70cm

【解析】

（1）①先根據外角定理得到∠OBF＝∠BOD+∠ODB，根據已知條件關于∠ODB和∠OBF等量關系6∠ODB+∠ODB＝∠OBF，代入數值即可求得結果.

②作垂線，由（1）可得∠AOC＝120°，進而求得∠OAG＝90°﹣60°＝30°，根據30°所對直角邊是斜邊的一半得到OG＝OA＝25，根據勾股定理求出AG、CG，再根據AC＝即可求出結果.

（2）觀察圖形可得到CF＝OC﹣OB﹣BF，CD＝OC+OA﹣DE，代入數值可得結果.

解：（1）①∵∠OBF＝∠BOD+∠ODB，∠BOD＝6∠ODB，

∴6∠ODB+∠ODB＝∠OBF，

∴7∠ODB＝140°，

∴∠ODB＝20°，

∴∠BOD＝6×20°＝120°，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠AOC＝120°；

②連接AC，過點A作AG⊥CE于G，如圖2所示：

∵∠AOC＝120°，

∴∠AOG＝180°﹣120°＝60°，

∵AG⊥CE，

∴∠OGA＝90°，

∴∠OAG＝90°﹣60°＝30°，

∴OG＝OA＝×50＝25（cm），

由勾股定理得：AG＝＝＝25（cm），

∵CG＝OC+OG＝30+25＝55（cm），

∴AC＝＝ ＝70（cm），

∴點A，C之間的距離為70cm；

（2）CF＝OC﹣OB﹣BF＝30﹣20﹣5＝5（cm），CD＝OC+OA﹣DE＝30+50﹣5＝75（cm）．