Question

【題目】如圖，一條拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，為拋物線的頂點，點在軸上．

（1）求拋物線解析式；

（2）若，求點的坐標；

（3）過點作直線交拋物線于，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）坐標平面內一點到點的距離為1個單位，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或（6，0）；（3）Q（2，3）或或；（4）．

【解析】

解：（1）把A，B，C三點坐標代入求出解析式即可；

（2）先求出直線DB的解析式，再分①當點P在點B左側時，②當點P在點B右側時，分別求出P點坐標即可；

（3）分①當四邊形APQC為平行四邊形時，②當四邊形AQPC為平行四邊形時兩種情況求出Q點坐標；

（4）先證△MBE∽△OBM得到，則當點D、M、E在同一直線上時，最短，求出最小值即可.

解：（1）∵拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，

∴設此拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），

將點C（0，3）代入，得a=-1，

∴，

（2）∵，

∴頂點D（1，4），

設直線DB解析式為y＝kx+b，

將D（1，4），B（3，0）代入得，，

解得：k＝﹣2，b＝6，

∴直線DB解析式為y＝﹣2x+6，

①如圖1﹣1，當點P在點B左側時，

∵∠PCB＝∠CBD，

∴CP∥BD，

設直線CP解析式為y＝﹣2x+m，

將C（0，3）代入，得m＝3，

∴直線CP解析式y＝﹣2x+3，

當y＝0時，，

∴，

②如圖1﹣2，當點P在點B右側時，

作點P關于直線BC的對稱點N，延長CN交x軸于點P'，此時∠P'CB＝∠CBD，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OC＝OB，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠CPB＝45°，

∴∠NBC＝45°，

∴△PBN為等腰直角三角形，

∴，

∴，

將C（0，3），代入直線CN解析式y＝nx+t，

得：，

解得，，t＝3，

∴直線CN解析式為，

當y＝0時，x＝6，

∴P'（6，0）；

綜上所述，點P坐標為或（6，0）；

（3）①如圖2﹣1，當四邊形APQC為平行四邊形時，

∴CQ∥AP，CQ＝AP，

∵yC＝3，

∴yQ＝3，

令﹣x2+2x+3＝3，

解得：x1＝0，x2＝2，

∴Q（2，3），

②如圖2﹣2，當四邊形AQPC為平行四邊形時，

AC∥PQ，AC＝PQ，

∴yC﹣yA＝yP﹣yQ＝3，

∵yP＝0，

∴yQ＝﹣3，

令﹣x2+2x+3＝﹣3，

解得，，，

∴，

綜上所述，點Q的坐標為Q（2，3）或或；

（4）∵點M到點B的距離為1個單位，

∴點M在以點B為圓心，半徑為1的圓上運動，如圖3

在x軸上作點，連接BM、EM、DE，

∴，

∵BM＝1，

∴，

∵∠MBE＝∠OBM，

∴△MBE∽△OBM，

∴，

∴，

∴，

∴當點D、M、E在同一直線上時，最短，

∵D（1，4），

∴，

∴的最小值為．