Question

【題目】如圖1，設是一個銳角三角形，且，為其外接圓，分別為其外心和垂心，為圓直徑，為線段上一動點且滿足．

（1）證明：為中點；

（2）過作的平行線交于點，若為的中點，證明： ；

（3）直線與圓的另一交點為（如圖2），以為直徑的圓與圓的另一交點為．證明：若三線共點，則；反之也成立．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）連接AD，BD，得，結合H為垂心，，得出四邊形為平行四邊形，得到，結合平行，O為CD中點，可得M為BC中點；

（2）過作，由， 為平行四邊形，證明H為的垂心，從而得到；

（3）設與交點為，得到，證明H是的垂心，證明三線共點得三點共線，得到．

解：（1）連接，則，

又為垂心

∴，

∴

∴四邊形為平行四邊形

∴，又為中點

∴為中點

（2）過作

連接，由（1）可知四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形

∵

∴

∴為垂心

∴

∴

（3）設與交點為

由（1）可知四邊形為平行四邊形

∴為直徑中點

而圓與圓相交弦為

∴

∴

設

則為垂心

∴

三線共點三點共線