Question

【題目】如圖，用下面的方法可以畫△AOB的內接等邊三角形，閱讀后解答相應問題．

畫法：①在△AOB內畫等邊三角形CDE，使點C在OA上，點D在OB上；②連接OE并延長，交AB于點E′，過點E′作E′C′∥EC，交OA于點C′，作E′D′∥ED，交OB于點D′；③連接C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內接等邊三角形．

(1)求證：△C′D′E′是等邊三角形；

(2)求作：內接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，頂點D，G分別在AB，AC上，且DE：EF＝1∶2.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

(1)根據作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可證得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根據相似可證得對應邊的比相等，對應角相等，即可根據對應邊的比成比例且夾角相等的三角形相似，可證得△CDE∽△C′D′E′，即可得結果；(2)類似(1)的作法．

(1)證明　∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，

∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，

∴CE∶C′E′＝OE∶OE′，DE∶D′E′＝OE∶OE′，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，

∴CE∶C′E′＝DE∶D′E′，∠CED＝∠C′E′D′，

∴△CDE∽△C′D′E′，

∵△CDE是等邊三角形，

∴△C′D′E′是等邊三角形；

(2)解　畫法：①在△ABC內畫矩形D′E′F′G′，使點D′在AB上，點G′在AC上，且D′E′∶D′G′＝1∶2；

②連接AE′并延長，交BC于點E，連接AF′并延長交BC于點F，過點E作ED∥E′D′交AB于點D，過點F作FG∥F′G′，交AC于點G；

③連接DG，則矩形DEFG是△ABC的內接四邊形．