Question

【題目】如圖，在ABCD中，AC⊥CD．

(1)延長DC到E，使CE＝CD，連接BE，求證：四邊形ABEC是矩形；

(2)若點F，G分別是BC，AD的中點，連接AF，CG，試判斷四邊形AFCG是什么特殊的四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形AFCG是菱形.

【解析】

(1)根據矩形的判定方法，通過條件先判定四邊形ABEC是平行四邊形，再由AC⊥CD，得到平行四邊形的一個內角是直角，可證明四邊形ABEC是矩形；

(2)由中點G、F和ABCD，可證明四邊形AFCG也是平行四邊形，在Rt△ACD中用斜邊中線等于斜邊一半可得到AG=CG，進而可求證四邊形AFCG是菱形.

(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵CD＝CE，

∴CE∥AB，CE＝AB，

∴四邊形ABEC是平行四邊形，

∵AC⊥CD，

∴∠ACE＝90°，

∴四邊形ABEC是矩形；

(2)四邊形AFCG是菱形，

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝CB，AD∥CB，

∵點F、G分別是BC、AD的中點，

∴AG＝DG＝AD，BF＝CF＝BC，

∴AG＝CF，

∴四邊形AFCG是平行四邊形，

∵∠ACD＝90°，G為AD的中點，

∴AG＝CG，

∴四邊形AFCG是菱形．