Question

【題目】有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，若此時他測得BD=8cm，∠ADB=30度．請回答下列問題：（1）試探究線段BD與線段MF的關系，并簡要說明理由；

（2）小紅同學用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學繼續探究．他們將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB1D1，AD1交FM于點K（如圖2），設旋轉角為β（0°＜β＜90°），當△AFK為等腰三角形時，請直接寫出旋轉角β的度數；

（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如圖3），F2M2與AD交于點P，A2M2與BD交于點N，當NP∥AB時，求平移的距離是多少？

Answer 1

【答案】（1）BD=MF，BD⊥MF．理由見解析；

（2）β的度數為60°或15°；

（3）平移的距離是（6﹣2）cm．

【解析】

試題（1）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進而可得∠DNM的大小．

（2）根據旋轉的性質得出結論．

（3）求平移的距離是A2A的長度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的長度就行．用△DPN∽△DAB得出：，解得A2A的大小．

試題解析：（1）BD=MF，BD⊥MF.

延長FM交BD于點N，

由題意得：△BAD≌△MAF．

∴BD=MF，∠ADB=∠AFM.

又∵∠DMN=∠AMF，

∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，

∴∠DNM=90°，

∴BD⊥MF；

（2）當AK=FK時，∠KAF=∠F=30°，

則∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，

即β=60°；

②當AF=FK時，∠FAK==75°，

∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，

即β=15°；

∴β的度數為60°或15°；

（3）由題意得矩形PNA2A．設A2A=x，則PN=x，

在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=8，

∴A2M2=4，A2F2=4，∴AF2=4﹣x．

∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，

∴AP=AF2tan30°=4﹣x．

∴PD=AD﹣AP=4﹣4+x．

∵NP∥AB，

∴∠DNP=∠B．

∵∠D=∠D，

∴△DPN∽△DAB.

∴.

∴，

解得x=6﹣2.

即A2A=6﹣2．

答：平移的距離是（6﹣2）cm．