Question

【題目】如圖（1），拋物線y=x2﹣2x+k與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．

（1）k= ， 點A的坐標為 ， 點B的坐標為；

（2）設拋物線y=x2﹣2x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在拋物線y=x2﹣2x+k上求出點Q坐標，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）﹣3,（﹣1,0）,（3,0）
（2）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，則M（1，﹣4），

拋物線的對稱軸交x軸于N，如圖（1），

四邊形ABMC的面積=S△AOC+S梯形OCMN+S△MNB= ×1×3+ ×（3+4）×1+ ×4×（3﹣1）=9

（3）解：存在．

作DE∥y軸交直線BC于E，如圖（2），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

設D（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，x﹣3），

∴DE=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△BCD= DE3=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+ ，

當x= 時，S△BCD有最大值，

∵S△ACB= ×4×3=6，

∴x= 時，四邊形ABDC的面積最大，

此時D點坐標為（ ，﹣ ）；

（4）解：∵OB=OC=3，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

當∠CBQ=90°時，BQ交y軸于G點，如圖（3），則∠OBG=45°，

∴OG=OB=3，則G（0，3），

易得直線BG的解析式為y=﹣x+3，

解方程組 得 或 ，

∴Q（﹣2，5）；

當∠BCQ=90°時，CQ交x軸于H點，如圖（3），

則∠OCH=45°，

∴OH=OC=3，則H（﹣3，0），

易得直線CH的解析式為y=﹣x﹣3，

解方程組 得 或 ，

∴Q（1，﹣2）；

綜上所述，點Q坐標為（1，﹣2）或（2，5）時，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

【解析】解：（1）把C（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+k得k=﹣3，

則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0）；

所以答案是﹣3，（﹣1，0），（3，0）；