Question

【題目】結合“愛市西，愛生活，會創新”的主題，某同學設計了一款“地面霓虹探測燈”，增加美觀的同時也為行人的夜間行路帶去了方便．他的構想如下：在平面內，如圖1所示，燈射線從開始順時針旋轉至便立即回轉，燈射線從開始順時針旋轉至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈轉動的速度是每秒2度，燈轉動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．

（1）填空：______；

（2）若燈射線先轉動60秒，燈射線才開始轉動，在燈射線到達之前，燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

（3）如圖2，若兩燈同時轉動，在燈射線到達之前，若射出的光束交于點，過作交于點，且，則在轉動過程中，請探究與的數量關系是否發生變化？若不變，請求出其數量關系；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）120；（2）燈轉動100秒，兩燈的光束互相平行；（3）在轉動過程中，和關系不會變化，且有，理由見解析．

【解析】

（1）先根據角的倍差求出的度數，再根據平行線的性質即可得；

（2）設A燈轉動時間為t秒，先求出兩個臨界位置：燈射線從開始順時針旋轉至、燈射線從開始順時針旋轉至，再分三種情況，分別利用平行線的性質列出等式求解即可得；

（3）先根據角的和差求出，再根據三角形的內角和定理可得，然后根據角的和差可得，由此即可得．

（1）∵，

∴

（兩直線平行，內錯角相等）

故答案為：120；

（2）設A燈轉動時間為t秒

燈射線從開始順時針旋轉至所需時間為（秒），燈射線從開始順時針旋轉至所需時間為（秒）

燈射線從開始順時針旋轉至所需時間為（秒）

則t的取值范圍為，即

由題意，分以下三種情況：

①當時，如圖1所示

∵

∴

∵

∴

∴

∴

解得

此時，

即兩燈的光束重合，不符題意，舍去

②當時，如圖2所示，此時燈A射線未從AN回轉

∵

∴

∵

∴

∴

∴

解得（不符題設，舍去）

③當時，如圖2所示，此時燈A射線旋轉至AN，并已開始回轉

∵

∴

∵

∴

∴

∴

解得，符合題設

綜上，燈轉動100秒，兩燈的光束互相平行；

（3）和關系不會變化，且有，理由如下：

設燈A射線轉動時間為t秒

∵

∴

又∵

∴

∴

∴，即

故在轉動過程中，和關系不會變化，且有．