Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，以BC為底邊向正方形外部作等腰直角三角形BCE，連接AE，分別交BD，BC于點F，G，則下列結論：①△AFB∽△ABE；②△ADF∽△GCE；③CG=3BG；④AF=EF，其中正確的有（ ）.

A.①③B.②④C.①②D.③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接AC，交BD于O，過點E作EH⊥BC于H，由正方形的性質及等腰直角三角形的性質可得∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，可得∠ABE=135°，根據外角性質可得∠AFD=∠FAB+∠ABF>45°，利用平角定義可得∠AFB<135°，即可證明∠AFB≠∠ABE，可對①進行判斷；由EH⊥BC可證明EH//AB，根據平行線的性質可得∠HEG=∠FAB，根據角的和差關系可證明∠DAF=∠CEG，即可證明△ADF∽△GCE；可對②進行判斷，由EH//AB可得△HEG∽△BAG，根據相似三角形的性質即可得出BG=2HG，根據等腰直角三角形性質可得CH=BH，進而可得CG=2BG，可對③進行判斷；根據正方形的性質可得OA=BE，∠AOF=∠FBE=90°，利用AAS可證明△AOF≌△EBF，可得AF=EF，可對④進行判斷；綜上即可得答案.

如圖，連接AC，交BD于O，過點E作EH⊥BC于H，

∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，

∴∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，

∴∠ABE=135°，

∵∠AFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+45°>45°，

∴∠AFB=180°-∠AFD<135°，

∴∠AFB≠∠ABE，

∴△AFB與△ABE不相似，故①錯誤，

∵EH⊥BC，∠ABC=90°，

∴EH//AB，

∴∠HEG=∠FAB，

∴∠AFD=∠FAB+∠ABD=45°+∠HEG=∠CEG，

又∵∠ADB=∠GCE=45°，

∴△ADF∽△GCE，故②正確，

∵EH//AB，

∴△HEG∽△BAG，

∴,

∵△BCE是等腰直角三角形，

∴EH=CH=BH=BC=AB，

∴=，即BG=2HG，

∴CH=BH=3HG，

∴CG=CH+HG=4HG，

∴CG=2BG，故③錯誤，

∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，

∴∠AOF=90°，∠FBE=∠DBC+∠CBE=45°+45°=90°，OA=AB，BE=BC，

∴∠AOF=∠FBE，OA=BE，

在△AOF和△EBF中，，

∴△AOF≌△EBF，

∴AF=EF，故④正確，

綜上所述：正確的結論有②④，

故選：B.