Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=﹣x+4與y軸、x軸分別交于

E、F，邊長為2的等邊△ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移，在平移過程中，得到△A1B1C1，當點B1與原點重合時，解答下列問題：

（1）求出點A1的坐標，并判斷點A1是否在直線l上；

（2）求出邊A1C1所在直線的解析式；

（3）在坐標平面內找一點P，使得以P、A1、C1、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出P點坐標．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) y=﹣x+6 ;(3) 點P的坐標為（3，3）或（﹣，3）或（5，﹣3）．

【解析】

（1）過點A1作A1D⊥x軸于點D，根據等邊三角形的性質可得出B1D、A1D的長度，進而可得出點A1的坐標，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可找出點A1在直線l上；

（2）由等邊三角形的邊長可找出點C1的坐標，由點A1、C1的坐標，利用待定系數法即可求出邊A1C1所在直線的解析式；

（3）分別以△A1C1F的三條邊為對角線找出平行四邊形，利用平行四邊形的性質即可找出點P的坐標．

（1）過點A1作A1D⊥x軸于點D，如圖1所示．

∵△A1B1C1是邊長為2的等邊三角形，

∴B1D=×2=，A1D=×2=3，

∴點A1的坐標為（，3）．

∵當x=時，y=﹣×+4=3，

∴點A1在直線l上．

（2）∵△A1B1C1是邊長為2的等邊三角形，

∴B1C1=2，

∴點C1的坐標為（2，0）．

設邊A1C1所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A1（，3）、C1（2，0）代入y=kx+b，得：

，解得：

∴邊A1C1所在直線的解析式為y=﹣x+6．

（3）當y=0時，有﹣x+4=0，

解得：x=4，

∴點F的坐標為（4，0）．

分三種情況考慮（如圖2）：

①當A1F為對角線時，四邊形A1C1FP1為平行四邊形，

∵A1（，3），C1（2，0），F（4，0），

∴點P1的坐標為（+4﹣2，3+0﹣0），即（3，3）；

②當A1C1為對角線時，四邊形A1P2C1F為平行四邊形，

∵A1（，3），C1（2，0），F（4，0），

∴點P2的坐標為（+2﹣4，3+0﹣0），即（﹣，3）；

③當C1F為對角線時，四邊形A1C1P3F為平行四邊形，

∵A1（，3），C1（2，0），F（4，0），

∴點P3的坐標為（2+4﹣，0+0﹣3），即（5，﹣3）．

綜上所述：點P的坐標為（3，3）或（﹣，3）或（5，﹣3）．