Question

【題目】如圖①，已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．

（1）求△ABC的面積．
（2）點M在OB邊上以每秒1個單位的速度從點O向點B運動，點N在BC邊上以每秒 個單位得速度從點B向點C運動，兩個點同時開始運動，同時停止．設(shè)運動的時間為t秒，試求當t為何值時，以B，M，N為頂點的三角形與△BOC相似？
（3）如圖②，點P為拋物線上的動點，點Q為對稱軸上的動點，是否存在點P，Q，使得以P，Q，C，B為頂點的四邊形是平行四變形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=0時，y=3，即C（0，3），

當y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1，x=3，即A（﹣1，0），B（3，0）；

S△ABC= ABOC= ×[3﹣（﹣1）]×3=6

（2）

解：若∠BMN=90°，如圖1：

，

BM=（3﹣t），BN= t，BC= =3 ，

△BMN∽△BOC，

= ，即 = ．

t= （3﹣t），解得t= ；

若∠BNM=90°時，如圖2：

，

BM=（3﹣t），BN= t，BC= =3 ，

△BMN∽△BCO，

= ，即 = ，

3﹣t= × t，解得t=1；

綜上所述：t=1或t=

（3）

解：如圖3：

，

若CB為對線，即CP∥QB，CP1=Q1B=3﹣1=2，y =yC=3，

P1（2，3）；

CB為邊，即CB∥PQ，CB=PQ，

設(shè)P（a，b），D（1，b），Q（1，a+b﹣1）．

PQ=CB，即（a﹣1）2+（1﹣a）2=18，

化簡，得

a2﹣2a﹣8=0．

解得a=﹣2或a=4．

當a=﹣2時，b=﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3=﹣5，

即P2（﹣2，﹣5）；

當a=4時，b=﹣42+2×4+3=﹣5，

即P3（4，﹣5）；

綜上所述：P1（2，3），P2（﹣2，﹣5），P3（4，﹣5）．

【解析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（2）根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似，可得△BMN與△BOC的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得①BQ=PC或②BC=PQ；根據(jù)BQ∥PC，BQ=PC，可得P點坐標；根據(jù)PQ=BC，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點坐標．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．