Question

【題目】（13分）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別是邊AB，BC的中點，MP⊥AB交邊CD于點P，連接NM，NP．

（1）若∠B=60°，這時點P與點C重合，則∠NMP= 度；

（2）求證：NM=NP；

（3）當△NPC為等腰三角形時，求∠B的度數．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）證明見試題解析；（3）108°或90°．

【解析】

試題（1）由直角三角形的中線等于斜邊上的一半，即可得出結論；

（2）延長MN交DC的延長線于點E，由四邊形ABCD是菱形，得出AB∥DC，從而有∠BMN=∠E，由點N是線段BC的中點，得出BN=CN，得出△MNB≌△ENC，從而有MN=EN，即點N是線段ME的中點，由MP⊥AB交邊CD于點P，得出MP⊥DE，從而有∠MPE=90°，即可得出結論；

（3）NC和PN不可能相等，所以只需分①PN=PC，②PC=NC兩種情況進行討論即可．

試題解析：（1）∵MP⊥AB交邊CD于點P，∠B=60°，點P與點C重合，∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，∵N是BC的中點，∴MN=PN，∴∠NMP=∠NPM=30°；

（2）如圖1，延長MN交DC的延長線于點E，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠BMN=∠E，∵點N是線段BC的中點，∴BN=CN，在△MNB和△ENC中，∵∠BMN=∠E，∠MNB=∠ENC，BN=CN，∴△MNB≌△ENC，∴MN=EN，即點N是線段ME的中點，∵MP⊥AB交邊CD于點P，∴MP⊥DE，∴∠MPE=90°，∴PN=MN=ME；

（3）如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，又M，N分別是邊AB，BC的中點，∴MB=NB，∴∠BMN=∠BNM，由（2）知：△MNB≌△ENC，∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，又∵PN=MN=NE，∴∠NPE=∠E，設∠BMN=∠BNM=∠E=∠NCE=∠NPE=x°，則∠NCP=2x°，∠NPC=x°，

①若PN=PC，則∠PNC=∠NCP=2x°，在△PNC中，2x+2x+x=180，解得：x=36，∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°；

②若PC=NC，則∠PNC=∠NPC=x°，在△PNC中，2x+x+x=180，解得：x=45，∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°；

綜上所述：∠B=108°或90°．