Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，連接AE．
（1）求證：AB⊥AE；
（2）若BC2=ADAB，求證：四邊形ADCE為正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，

∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中

，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，

∴∠BAE=45°+45°=90°，

∴AB⊥AE；

（2）證明：∵BC2=ADAB，

而BC=AC，

∴AC2=ADAB，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，

∴四邊形ADCE為矩形，

∵CD=CE，

∴四邊形ADCE為正方形．

【解析】（1）根據旋轉的性質得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結論；（2）由于BC=AC，則AC2=ADAB，根據相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，則∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形．
【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形和正方形的判定方法，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能得出正確答案．