Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A（1，0）和B（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點E，點F是位于x軸上方對稱軸上一點，FC∥x軸，與對稱軸右側的拋物線交于點C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點C的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，

，

解得 ，

所以，拋物線的解析式為y= x2﹣ x+2

（2）

解：方法一：

拋物線的對稱軸為直線x= ，

∵四邊形OECF是平行四邊形，

∴點C的橫坐標是 ×2=5，

∵點C在拋物線上，

∴y= ×52﹣ ×5+2=2，

∴點C的坐標為（5，2）

方法二：

∵FC∥x軸，∴當FC=OE時，四邊形OECF是平行四邊形．

設C（t， ），

∴F（ ， +2），

∴t﹣ = ，

∴t=5，C（5，2）

（3）

解：方法一：

設OC與EF的交點為D，

∵點C的坐標為（5，2），

∴點D的坐標為（ ，1），

①點O是直角頂點時，易得△OED∽△PEO，

∴ ，

即 = ，

解得PE= ，

所以，點P的坐標為（ ，﹣ ）；

②點C是直角頂點時，同理求出PF= ，

所以，PE= +2= ，

所以，點P的坐標為（ ， ）；

③點P是直角頂點時，由勾股定理得，OC= = ，

∵PD是OC邊上的中線，

∴PD= OC= ，

若點P在OC上方，則PE=PD+DE= +1，

此時，點P的坐標為（ ， ），

若點P在OC的下方，則PE=PD﹣DE= ﹣1，

此時，點P的坐標為（ ， ），

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P（ ，﹣ ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ， ），使△OCP是直角三角形

方法二：

∵點P在拋物線的對稱軸上，設P（ ，t），O（0，0），C（5，2），

∵△OCP是直角三角形，∴OC⊥OP，OC⊥PC，OP⊥PC，

①OC⊥OP，∴KOC×KOP=﹣1，∴ ，

∴t=﹣ ，∴P（ ，﹣ ），

②OC⊥PC，∴KOC×KPC=﹣1，∴ =﹣1，

∴t= ，P（ ， ），

③OP⊥PC，∴KOP×KPC=﹣1，∴ ，

∴4t2﹣8t﹣25=0，∴t= 或 ，

點P的坐標為（ ， ）或（ ， ），

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P（ ，﹣ ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ， ），使△OCP是直角三角形．

【解析】方法一：（1）把點A、B的坐標代入函數解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；（2）根據拋物線解析式求出對稱軸，再根據平行四邊形的對角線互相平分求出點C的橫坐標，然后代入函數解析式計算求出縱坐標，即可得解；（3）設AC、EF的交點為D，根據點C的坐標寫出點D的坐標，然后分①點O是直角頂點時，求出△OED和△PEO相似，根據相似三角形對應邊成比例求出PE，然后寫出點P的坐標即可；②點C是直角頂點時，同理求出PF，再求出PE，然后寫出點P的坐標即可；③點P是直角頂點時，利用勾股定理列式求出OC，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PD= OC，再分點P在OC的上方與下方兩種情況寫出點P的坐標即可．
方法二：（1）略．（2）因為四邊形OECF是平行四邊形，且FC∥x軸，列出F，C的參數坐標，利用FC=OE，可求出C點坐標．（3）列出點P的參數坐標，分別列出O，C兩點坐標，由于△OCP是直角三角形，所以分別討論三種垂直的位置關系，利用斜率垂直公式，可求出三種情況下點P的坐標．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．