Question

【題目】已知：如圖，等邊△ABC中，D、E分別在BC、AC邊上運動，且始終保持BD=CE，點D、E始終不與等邊△ABC的頂點重合．連接AD、BE，AD、BE交于點F．

（1）寫出在運動過程中始終全等的三角形，井選擇其中一組證明；

（2）運動過程中，∠BFD的度數是否會改變？如果改變，請說明理由；如果不變，求出∠BFD的度數，再說明理由．

（3）直接寫出運動過程中，AE、AB、BD三條線段長度之間的等量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不變，60°；（3）AE+BD=AB．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質得出AB=BC=AC，∠ABC=BCA=BAC=60°，由BD=CE，得出CD=AE，由SAS即可證得△ACD≌BAE；由SAS即可證得△ABD≌△BCE；

（2）由△ABD≌△BCE得出∠BAD=∠CBE，由三角形內角和定理得出∠AFB+∠BAD+∠ABF=180°，推出∠AFB+∠CBE+∠ABF=180°，由∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，則∠AFB=120°，即可得出∠BFD=60°不變；

（3）由AB=BC=AC，BD=CE，CD=AE，即可得出結果．

（1）△ACD≌BAE，△ABD≌△BCE；理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠ABC=BCA=BAC=60°，

∵BD=CE，

∴CD=AE，

在△ACD和BAE中，

，

∴△ACD≌BAE（SAS）；

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）∠BFD的度數不變；理由如下：

∵△ABD≌△BCE，

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠AFB+∠BAD+∠ABF=180°，

∴∠AFB+∠CBE+∠ABF=180°，

∵∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，

∴∠AFB=120°，

∵∠BFD+∠AFB=180°，

∴∠BFD=60°

∴∠BFD的度數不變；

（3）∵AB=BC=AC，BD=CE，CD=AE，

∴AE+BD=AE+CE=AC=AB，

∴AE+BD=AB．