Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，過點A作AD∥BC，與∠ABC的平分線交于點D，BD與AC交于點E，與⊙O交于點F．

(1)求∠DAF的度數；

(2)求證：AE2＝EFED；

(3)求證：AD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】(1)∠DAF＝36°；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度數，求出∠D度數，根據三角形內角和定理求出∠BAF和∠BAD度數，即可求出答案；

（2）求出△AEF∽△DEA，根據相似三角形的性質得出即可；

（3）連接AO，求出∠OAD=90°即可．

(1)∵AD∥BC，

∴∠D＝∠CBD，

∵AB＝AC，∠BAC＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝×(180°﹣∠BAC)＝72°，

∴∠AFB＝∠ACB＝72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×72°＝36°，

∴∠D＝∠CBD＝36°，

∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠ABD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，

∠BAF＝180°﹣∠ABF﹣∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，

∴∠DAF＝∠DAB﹣∠FAB＝108°﹣72°＝36°；

(2)證明：∵∠CBD＝36°，∠FAC＝∠CBD，

∴∠FAC＝36°＝∠D，

∵∠AED＝∠AEF，

∴△AEF∽△DEA，

∴，

∴AE2＝EF×ED；

(3)證明：連接OA、OF，

∵∠ABF＝36°，

∴∠AOF＝2∠ABF＝72°，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA＝×(180°﹣∠AOF)＝54°，

由(1)知∠DAF＝36°，

∴∠DAO＝36°+54°＝90°，

即OA⊥AD，

∵OA為半徑，

∴AD是⊙O的切線．