Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x，0），B（x，y），若線(xiàn)段AB上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB的“倍分點(diǎn)”．

（1）若點(diǎn)A（1，0），AB＝3，點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB的“倍分點(diǎn)”．

①求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，當(dāng)點(diǎn)B在第一象限時(shí)，求；

（2）⊙T的圓心T（0，t），半徑為2，點(diǎn)Q在直線(xiàn)y＝ x上，⊙T上存在點(diǎn)B，使點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB的“倍分點(diǎn)”，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①Q（1，1）或Q'（1，﹣1），②；（2）t的取值范圍為﹣4≤t≤4

【解析】

(1) ①根據(jù) “倍分點(diǎn)”的定義及A（1，0），AB＝3，可得Q的坐標(biāo)；②點(diǎn)A（1，0）關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′（0，1），可得QA＝QA′，可得答案；

(2)分①當(dāng)A，B都在⊙T1上時(shí)，可得t的值，②當(dāng)⊙T2上只有一個(gè)點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB的“倍分點(diǎn)”時(shí)，過(guò)點(diǎn)T2作T2Q⊥圖象L于點(diǎn)Q，交⊙T2于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D，可得t的取值范圍.

解：（1）如圖1，

∵A（1，0），AB＝3

∴B（1，3）或B'（1，﹣3）

∵

∴Q（1，1）或Q'（1，﹣1）

（2）點(diǎn)A（1，0）關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′（0，1），如圖1，

∴QA＝QA′

∴，

（3）①當(dāng)A，B都在⊙T1上時(shí)，⊙T1與L沒(méi)有交點(diǎn)，

∵⊙T1的半徑為2，

∴此時(shí)點(diǎn)T1的坐標(biāo)為（0，﹣4）；

②當(dāng)⊙T2上只有一個(gè)點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB的“倍分點(diǎn)”時(shí)，過(guò)點(diǎn)T2作T2Q⊥圖象L于點(diǎn)Q，交⊙T2于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵圖象L的解析式為y＝x（x＞0），

∴∠QOT＝60°，∠OT2Q＝30°．

∵點(diǎn)T2的坐標(biāo)為（0，t），

∴OQ＝t，DQ＝OQ＝t，T2O＝t．

由“倍分點(diǎn)”的定義可知：OB＝2DQ，即t﹣2＝t，

解得：t＝4，

綜上所述：t的取值范圍為﹣4≤t≤4．