Question

【題目】（1）閱讀理解：

如圖①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE(或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷.中線AD的取值范圍是___________；

(2)問題解決: 如圖②，在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF于點D,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證:BE+CF＞EF；

(3)問題拓展:如圖③,在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,以C為頂點作∠ECF,使得角的兩邊分別交AB,AD于E、F兩點,連接EF,且EF=BE+DF，試探索∠ECF與∠A之間的數量關系,并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）1＜AD＜4；（2）證明見解析；（3）∠A+2∠ECF=180°，理由見解析.

【解析】

（1）延長AD到E，使DE=AD，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根據三角形的三邊關系求出即可；

（2）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；再利用全等的性質可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF；

（3）延長EB到G，使BG=DF，連接CG，通過SAS證明△CDF≌△CBG，得到CG=CF，∠BCG=∠DCF，再證明△CEF≌△CEG，得到∠ECF=∠EDG，由∠A+∠BCD=180°，通過等量代換即可得到∠A+2∠ECF=180°.

（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

在△ADC與△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB=AC，

∵AB=5，AC=3，

根據三角形的三邊關系得：AB-AC＜AE＜AC+AB，

∴2＜AE＜8，

∵AE=2AD

∴1＜AD＜4，

即：BC邊上的中線AD的取值范圍1＜AD＜4，

故答案為：1＜AD＜4；

（2）過點B作BG∥AC交FD的延長線于G，連接EG，

∴∠DBG=∠DCF．

∵D為BC的中點，

∴BD=CD，

又∵∠BDG=∠CDF，

∴△BGD≌△CFD（ASA）．

∴GD=FD，BG=CF，

又∵DE⊥DF，

∴EG=EF（垂直平分線到線段端點的距離相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，

即BE+CF＞EF；

（3）∠A+2∠ECF=180°，理由如下：

延長EB到G，使BG=DF，連接CG，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，

∴∠D=∠CBG，

又∵CD=CB，DF=BG，

∴△CDF≌△CBG，

∴CF=CG，∠DCF=∠BCG，

∵EF=DF+BE，EG=BE+BG，DF=BG，

∴EF=EG，

又∵EC=EC，

∴△CEF≌△CEG，

∴∠ECF=∠ECG，

∵∠BCD=∠DCF+∠BCF，

∴∠BCD=∠BCF+∠BCG=∠FCG=∠ECF+∠ECG=2∠ECF，

∵∠D+∠A+∠ABC+∠BCD=360°，∠D+∠ABC=180°，

∴∠A+∠BCD=180°，

∴∠A+2∠ECF=180°.