Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，D為AB中點，如果點P在線段BC上由點B出發向點C運動，同時點Q在線段CA上由點C出發向點A運動，設運動時間為t（s）．

（1）若點P與點Q的速度都是2cm/s，問經過多少時間△BPD與△CQP全等？說明理由；

（2）若點P的速度比點Q的速度都慢2cm/s，則經過多少時間△BPD與△CQP全等，并求出此時兩點的速度；

（3）若點P、點Q分別以（2）中速度同時從B、C出發，都逆時針沿△ABC三邊運動，問經過多少時間點P與點Q第一次相遇，相遇點在△ABC的哪條邊上？并求出相遇點與點B的距離．

Answer 1

【答案】（1）經過3s△BPD與△CQP全等；（2）當運動時間為1s時，△BPD與△CPQ全等，此時點P的速度為8cm/s，點Q的速度為10cm/s；（3）第一次相遇在AB邊上，此時相遇點與點B的距離8cm．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質可得出∠B＝∠C，由點P、Q同速同時出發可得出BP＝CQ，結合全等三角形的判定定理可得出當BD＝CP時△BPD與△CQP全等，進而即可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論；

（2）設點P的速度為xcm/s，則點Q的速度為（x+2）cm/s，由BP≠CQ、∠B＝∠C結合全等三角形的性質可得出BD＝CQ、BP＝CP＝8，進而即可得出關于t、x的方程組，解之即可得出結論；

（3）根據路程＝速度×時間結合點P、Q相遇，即可得出關于t的一元一次方程，解之可求出t值，由點Q的路程＝點Q的速度×運動時間可求出點Q的路程，再結合CA、AB、BC的長度，即可找出點P、Q第一次相遇時的位置，此題得解．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∵點P與點Q的速度都是2cm/s，

∴BP＝CQ，

∴當BD＝CP時，△BPD與△CQP全等，即10＝16﹣2t，

解得t＝3，

∴經過3s△BPD與△CQP全等．

（2）設點P的速度為xcm/s，則點Q的速度為（x+2）cm/s．

∵BP≠CQ，∠B＝∠C，

∴BD＝CQ，BP＝CP＝8，

∴ ，

解得：．

∴當運動時間為1s時，△BPD與△CPQ全等，此時點P的速度為8cm/s，點Q的速度為10cm/s．

（3）根據題意得：10t＝40+8t，

解得：t＝20，

∴Q的路程＝10×20＝200（cm），

∵200＝（20+20+16）×3+20+12，20﹣12＝8，

∴第一次相遇在AB邊上，此時相遇點與點B的距離8cm．