Question

【題目】已知，中，，，點為邊中點，連接，點為的中點，線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，．

（1）如圖1，當時，請直接寫出的值；

（2）如圖2，當時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出正確的結論，并說明理由；

（3）如圖3，當時，請直接寫出的值(用含的三角函數表示)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1（見解析），先根據中位線定理得出，再根據旋轉的性質、等邊三角形的性質得出，，，然后根據三角形全等的判定定理與性質可得，由此即可得出答案；

（2）如圖2（見解析），先根據中位線定理、等腰三角形的三線合一得出，再根據等腰直角三角形的性質得出，，然后根據相似三角形的判定與性質可得，，從而可得，最后根據相似三角形的判定與性質可得，據此利用正弦三角函數值即可得；

（3）如圖3（見解析），參照題（2）的思路，先根據相似三角形的判定與性質得出，再在中，利用正弦三角函數值即可得．

（1）如圖1，取AC的中點G，連接EG，則

點為的中點

是的中位線

，即

由旋轉的性質可知，，

是等邊三角形

，

，

是等邊三角形

點為邊中點

，

在和中，

；

（2）不成立，，理由如下：

如圖2，連接，取的中點，連接

∵是的中點

∴

∴

∵

是等腰三角形

∵是中點,

∴，，

∴

∴

當時，則

和為等腰直角三角形

∴，即

∴，

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

在中，，即

則；

（3），求解過程如下：

如圖3，連接，取的中點，連接

參照（2），同理可得：，，

當時，則

，（旋轉的性質）

和為等腰三角形

∴

又

∴

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

在中，

即．