Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點（能與B重合，不與C重合），以DC為直徑的半圓O，交AC于點E．

（1）如圖1，若點D與點B重合，半圓交AB于點F，求證：AE=AF．

（2）設∠B=60°，若半圓與AB相切于點T，在圖2中畫出相應的圖形，求∠AET的度數．

（3）設∠B=60°，BC=6，△ABC的外心為點P，若點P正好落在半圓與其直徑組成的封閉圖形的內部，直接寫出DC的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）75°；（3）4＜DC≤6．

【解析】

（1）連接BE，CF，根據已知條件，推斷出△ABE≌△ACF即可；

（2）連接OT、OE、ET，根據已知推出∠OEC和∠TEO的度數，即可得出答案；

（3）以B為原點建立坐標系，求出各點坐標，設DC=a，寫出圓O的解析式，再根據題意列出不等式計算即可．

證明：（1）如圖1：連接BE，CF，

∵此時BC為直徑，

∴∠BEC=∠CFB=90°，

∴∠AEB=∠AFC=90°，

又∵∠A=∠A，AB=AC，

∴△ABE≌△ACF，

∴AE=AF；

（2）如圖2：連接OT、OE、ET，

∵AB=AC，∠B=60°，

∴∠C=60°，

∵OE=OC，

∴∠EOC=∠OEC=60°，

∵AB是圓的切線，

∴OT⊥AB，

∵∠BOT=90°-60°=30°，

∴∠TOE=90°，

∵OT=OE，

∴∠TEO=45°，

∴∠AET=180°-45°-60°=75°；

（3）以B為原點建立坐標系，

∵AB=AC,∠ABC=60°，

∴△ABC為正三角形，

∵BC=6，

∴C（6，0），A（3，），

∴△ABC的外心P（3，），

設DC=a，則圓O：，

當P在封閉圖形的內部時，，

得a＞4，

∴4＜DC≤6．