Question

【題目】如圖①，若二次函數y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（3，0）兩點，點A關于正比例函數y= x的圖象的對稱點為C．

（1）求b、c的值；
（2）證明：點C在所求的二次函數的圖象上；
（3）如圖②，過點B作DB⊥x軸交正比例函數y= x的圖象于點D，連結AC，交正比例函數y= x的圖象于點E，連結AD、CD．如果動點P從點A沿線段AD方向以每秒2個單位的速度向點D運動，同時動點Q從點D沿線段DC方向以每秒1個單位的速度向點C運動．當其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，連結PQ、QE、PE．設運動時間為t秒，是否存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（﹣2，0），B（3，0）在拋物線y= x2+bx+c上，

∴ ，

解得：b=﹣ ，c=﹣

（2）

解：設點F在直線y= x上，且F（2， ）．

如答圖1所示，過點F作FH⊥x軸于點H，則FH= ，OH=2，

∴tan∠FOB= = ，∴∠FOB=60°．

∴∠AOE=∠FOB=60°．

連接OC，過點C作CK⊥x軸于點K．

∵點A、C關于y= x對稱，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．

∴∠COK=180°﹣∠AOE﹣∠COE=60°．

在Rt△COK中，CK=OCsin60°=2× = ，OK=OCcos60°=2× =1．

∴C（1，﹣ ）．

拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣ ，當x=1時，y=﹣ ，

∴點C在所求二次函數的圖象上

（3）

解：假設存在．

如答圖1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC= = = ．

如答圖2所示，∵OB=3，∴BD=3 ，AB=OA+OB=5．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD= = =2 ．

∵點A、C關于y= x對稱，

∴CD=AD=2 ，∠DAC=∠DCA，AE=CE= AC= ．

連接PQ、PE，QE，則∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE．

在四邊形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°（四邊形內角和等于360°），

即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，

∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°．

又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°（三角形內角和定理），

∴∠AEP=∠CQE．

在△APE與△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，

∴△APE∽△CEQ，

∴ ，即： ，

整理得：2t2﹣ t+3=0，

解得：t= 或t= （t＜ ，所以舍去）

∴存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC，此時t=

【解析】（1）利用待定系數法求出b，c的值；（2）如答圖1所示，關鍵是求出點C的坐標．首先求出直線y= x與x軸所夾銳角為60°，則可推出在Rt△COK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出點C的坐標；（3）如答圖2所示，關鍵是證明△APE∽△CEQ．根據∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，證明△APE∽△CEQ，根據相似線段比例關系列出方程，解方程求出時間t的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．