Question

【題目】已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：有兩種情況： ①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD= =10
②CD是平行四邊形的一條對角線，
過C作CM⊥AO于M，過D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過B作BN⊥DF于N，
則∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四邊形ACBD是平行四邊形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中

∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，
D（（8﹣a，6+a），
由勾股定理得：CD2=（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2=8a2﹣8a+100=8（a﹣ ）2+98，
當a= 時，CD有最小值，是
∵ ＜10，
∴CD的最小值是 =7 ．
解法二：
CD是平行四邊形的一條對角線
設CD、AB交于點E，
∵點E為AB的中點，
∴E（ ），即E（4，3）
∵CE=DE，
∴當DE取得最小值時，CE自然為最小，
∵C（a，﹣a），
∴C點可以看成在直線y=﹣x上的一點，
∴CE最小值為點E到直線的距離，即CE⊥直線y=﹣x，
根據兩直線垂直，斜率乘積為﹣1，
∴CE所在直線為y=x+b，代入E（4，3），可得y=x﹣1，
∴C點坐標為兩直線交點： ，即：（ ，﹣ ）
∴CE為： =
∴CD=7 ．
所以答案是：7 ．

【考點精析】利用平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．