Question

【題目】如圖，P1、P2是反比例函數(shù)y= （k＞0）在第一象限圖象上的兩點，點A1的坐標為（4，0）．若△P1OA1與△P2A1A2均為等腰直角三角形，其中點P1、P2為直角頂點．

（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）①求P2的坐標．
②根據(jù)圖象直接寫出在第一象限內(nèi)當x滿足什么條件時，經(jīng)過點P1、P2的一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)y= 的函數(shù)值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點P1作P1B⊥x軸，垂足為B

∵點A1的坐標為（4，0），△P1OA1為等腰直角三角形

∴OB=2，P1B= OA1=2

∴P1的坐標為（2，2）

將P1的坐標代入反比例函數(shù)y= （k＞0），得k=2×2=4

∴反比例函數(shù)的解析式為

（2）

解：

①過點P2作P2C⊥x軸，垂足為C

∵△P2A1A2為等腰直角三角形

∴P2C=A1C

設(shè)P2C=A1C=a，則P2的坐標為（4+a，a）

將P2的坐標代入反比例函數(shù)的解析式為 ，得

a= ，解得a1= ，a2= （舍去）

∴P2的坐標為（ ， ）

②在第一象限內(nèi)，當2＜x＜2+ 時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的值

【解析】（1）先根據(jù)點A1的坐標為（4，0），△P1OA1為等腰直角三角形，求得P1的坐標，再代入反比例函數(shù)求解；（2）先根據(jù)△P2A1A2為等腰直角三角形，將P2的坐標設(shè)為（4+a，a），并代入反比例函數(shù)求得a的值，得到P2的坐標；再根據(jù)P1的橫坐標和P2的橫坐標，判斷x的取值范圍．本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得點P1和P2的坐標．等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．