Question

【題目】（1）（閱讀與證明）

如圖1，在正的外角內引射線，作點C關于的對稱點E（點E在內），連接，、分別交于點F、G．

①完成證明：點E是點C關于的對稱點，

，，．

正中，，，

，得．

在中，，______．

在中，，______．

②求證：．

（2）（類比與探究）

把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：

①______；

②線段、、之間存在數量關系___________．

（3）（歸納與拓展）

如圖3，點A在射線上，，，在內引射線，作點C關于的對稱點E（點E在內），連接，、分別交于點F、G．則線段、、之間的數量關系為__________．

Answer 1

【答案】（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3） ．

【解析】

（1）①根據等量代換和直角三角形的性質即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到 ∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質以及線段的和差即可證明；

（2）類比（1）的方法即可作答；

（3）根據（1）（2）的結論，即可總結出答案．

解：（1）①∵，，

∴，即60°；

∵

∴

故答案為60°，30°；

②在FB上取FN=AF，連接AN

∵∠AFN=∠EFG=60°

∴△AFN是等邊三角形

∴AF=FN=AN

∵FN=AF

∴∠BAC=∠NAF=60°

∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2

∴∠BAN=∠2

∵點C關于的對稱點E

∴∠2=∠1,AC=AE

∴∠BAN=∠2=∠1

∵AB=AC

∴AB=AE

在△ABN和△AEF

FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE

∴△ABN≌△AEF

∴BN=EF

∵AG⊥CE，∠FEG=30°

∴EF=2FG

∴BN=EF=2FG

∵BF=BN+NF

∴BF=2FG+AF

（2）①點E是點C關于的對稱點，

，，．

正方形ABCD中，，，

，得．

在中，，

45．

在中，，

45．

故答案為45°；

②在FB上取FN=AF，連接AN

∵∠AFN=∠EFG=45°

∴△AFN是等腰直角三角形

∴∠NAF=90°，AF=AN

∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF

∴∠BAN=∠2

∵點C關于的對稱點E

∴∠2=∠1,AC=AE

∴∠BAN=∠2=∠1

∵AB=AC

∴AB=AE

在△ABN和△AEF

FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE

∴△ABN≌△AEF

∴BN=EF

∵AG⊥CE，∠FEG=45°

∴EF=FG

∴BN=EF=FG

∵BF=BN+NF

∴BF=FG+AF

（3）由（1）得：當∠BAC=60°時

BF=AF+2FG= ；

由（2）得：當∠BAC=90°時

BF=AF+2FG=；

以此類推，當當∠BAC= 60°時， ．