Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，P為BC上的一點，連接AP，過D點作DH⊥AP于H，AB=, BC=4,當△CDH為等腰三角形時，則BP=_________________.

Answer 1

【答案】、或2

【解析】

分HD=HC、DH=DC以及CH=CD三種情況考慮：

①當HD=HC時，過點H作HE⊥CD于點E，延長EH交AB于點F，連接DP，由△CDH為等腰三角形得出點H為AP的中點，再結合DH⊥AP可得出AD=DP，設BP=a，利用勾股定理即可得出關于a的一元二次方程，解方程即可得出結論；

②當DH=DC時，利用勾股定理可求出AH的長度，進而得出∠DAH=45°，由平行線的性質可得出∠APB=45°，進而得出△ABP為等腰直角三角形，即BP=AB；

③當CH=CD時，過點C作CE⊥DH于點E，延長CE交AD于點F，根據等腰三角形的性質即可得出DF=AFAD，由DH⊥CF、DH⊥AP即可得出CF∥AP，結合AF∥CP即可得出四邊形AFCP為平行四邊形，進而得出AF=CP，再根據平行線的性質即可得出AF的長度，結合BC的長度以及AF=CP即可求出BP的長度．

①當HD=HC時，過點H作HE⊥CD于點E，延長EH交AB于點F，連接DP，如圖1所示．

∵HD=HC，∴點E為CD的中點．

∵EF∥AD，∴FH為△ABP的中位線，∴AH=HP．

∵DH⊥AP，∴△DAP為等腰三角形，∴AD=DP．

設BP=a，則CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣2，或a=﹣4﹣2（舍去）；

②當DH=DC時，如圖2所示．

∵DC=AB=2，∴DH=2．

在Rt△AHD中，AD=4，DH=2，∴AH2，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．

∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°．

∵∠B=90°，∴△ABP為等腰直角三角形，∴BP=AB=2；

③當CH=CD時，過點C作CE⊥DH于點E，延長CE交AD于點F，如圖3所示．

∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HEDH．

∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP．

∵AF∥CP，∴四邊形AFCP為平行四邊形，∴AF=CP．

∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AFAD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．

綜上所述：BP的長度為、或2．

故答案為：、或2．