Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點A、B（點A在點B的左側），且AB=6.

（1）求這條拋物線的對稱軸及表達式；

（2）在y軸上取點E（0,2），點F為第一象限內拋物線上一點，聯結BF、EF，如果，求點F的坐標；

（3）在第（2）小題的條件下，點F在拋物線對稱軸右側，點P在軸上且在點B左側，如果直線PF與y軸的夾角等于∠EBF，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1），對稱軸；（2）或；（3）

【解析】

（1）先將拋物線表達式化為頂點式，得出對稱軸x=1,再根據拋物線與x軸兩交點的距離為6，可以得出A,B兩點的坐標，進而可求出解析式.

（2）利用S四邊形OEFB=S△OEF+S△OBF列方程求解.

（3）找出兩等角所在的三角形，構造一組相似三角形求解.

解：（1）將化為一般式得，

，

∴這條拋物線的對稱軸為x=1.

又拋物線與軸交于點A、B（點A在點B的左側），且AB=6，

∴根據對稱性可得A,B兩點的坐標分別為A(-2，0),B(4，0).

將A點坐標代入解析式，可解得m=,

∴所求拋物線的解析式為.

（2）設點F的坐標為（t, t2+t+4），如圖1可知

S四邊形OEFB=S△OEF+S△OBF

=×2×t+×4×（t2+t+4）=10，

解得，t=1或t=2,

∴點F的坐標為或.

（3）假設直線PF與y軸交于點H,拋物線與y軸交于點C,連接CF，

則根據題意得∠FHC=∠EBF,

由（2）得點F的坐標為(2,4)，又點C坐標為(0,4),

∴CF∥x軸，

過點F作FG⊥BE于點G，

有△CFH∽△GFB.

在△BEF中，根據已知點坐標可以求得BE=BF=2，EF=2，

根據面積法可求得FG=,∴BG=

設直線FP的解釋式為y=kx+b,則OH=b,

∴CH=4-b,

∴

∴解得b=.

將點F的坐標（2,4）代入FP的解析式可得，k=,

即FP的解析式為y=x+,

令y=0,可得P點坐標為（-1,0）.