Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝6，E為AB邊上一點，F是BC延長線上一點，將△BEF沿EF翻折，使點B恰好落在AD邊上的點G處，FG與CD交于點H，連接BH，與EF交于點M，若BH平分∠CHG，AG＝4，則EM＝_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

由正方形的性質得出AB=BC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，過點B作BP⊥FG于P，連接BG，交EF于N，由翻折的性質得BE=GE，設AE=x，則BE=GE=6-x，在Rt△AEG中，AE2+AG2=GE2，即x2+42=（6-x）2，求出x=，則BE=GE=，，由AAS證得△BCH≌△BPH得出∠CBH=∠PBH，BC=BP，推出AB=BP，由HL證得Rt△ABG≌Rt△PBG得出∠ABG=∠PBG，推出∠NBM=∠PBG+∠PBH=（∠ABP+∠CBP）=45°，由翻折的性質得出EF垂直平分BG，則BN=NG=BG=，△BNM是等腰直角三角形，推出MN=BN=，，即可得出結果．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，

過點B作BP⊥FG于P，連接BG，交EF于N，如圖所示：

由翻折的性質得：BE=GE，

設AE=x，則BE=GE=6-x，

在Rt△AEG中，AE2+AG2=GE2，

即：x2+42=（6-x）2，

解得：x=，

∴BE=GE=，

，

∵BH平分∠CHG，

∴∠CHB=∠PHB，

在△BCH和△BPH中，

，

∴△BCH≌△BPH（AAS），

∴∠CBH=∠PBH，BC=BP，

∴AB=BP，

在Rt△ABG和Rt△PBG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△PBG（HL），

∴∠ABG=∠PBG，

∴∠NBM=∠PBG+∠PBH=（∠ABP+∠CBP）=×90°=45°，

由翻折的性質得：EF垂直平分BG，

∴BN=NG=BG=，△BNM是等腰直角三角形，

∴MN=BN=，

，

，

故答案為：．