Question

【題目】如圖，已知等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，CA=CB，以BC為邊向外作等邊△CBA，連接AD，過點C作∠ACB的角平分線與AD交于點E，連接BE．

（1）若AE=2，求CE的長度；

（2）以AB為邊向下作△AFB，∠AFB=60°，連接FE，求證：FA+FB= FE．

Answer 1

【答案】（1）﹣1；（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）延長CE交AB于G，首先判斷出△CAG是等腰直角三角形，然后找到∠EAB=∠CAB﹣∠CAD=30°，分別求出CG，EG即可解決問題；

（2）延長FB到H，使得BH=AF，連接EH．作EI⊥BF于I．由△ACE≌△BCE，推出AE=BE，推出∠EAB=∠EBC=30°，由△AFE≌△BHE，推出∠AFE=∠BHE，EF=EH，可得∠EFB=∠EBH=∠AFE=30°，又EI⊥FH，故在Rt△FEI中，∠EFI=30°，從而得出FI=FE，可得FA+FB=FE．

試題解析：解：（1）延長CE交AB于G．

∵△BAC是等腰直角三角形，CE平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠AGC=90°．

∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°，∴△CAG是等腰直角三角形．

∵△BCD是等邊三角形，∴BC=CD=AC，∠BCD=60°，∴∠CAD=∠CDA，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=150°，∴∠CAD=∠CDA=15°，∴∠EAB=∠CAB﹣∠CAD=30°．

在Rt△AEG中，∠EAG=30°，AE=2，∴AE=，EG=1．

∵CG=AG=，∴CE=CG﹣EG=﹣1．

（2）延長FB到H，使得BH=AF，連接EH．作EI⊥BF于I．

由（1）可知：AC=BC，CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE．

∵CE=CE，∴△ACE≌△BCE，∴AE=BE，∴∠EAB=∠EBC=30°．

在△AFB中，∠AFB=60°，∴∠FAB+∠FBA=120°，∴∠FAE=∠EAB+∠FAB=30°+∠FAB，∠EBH=180°﹣∠EBA﹣∠ABF=150°﹣（120°﹣∠ABF）=30°+∠FAB，∴∠EBH=∠FAE，∴△AFE≌△BHE，∴∠AFE=∠BHE，EF=EH，∴∠EFB=∠EBH=∠AFE=30°．

∵EI⊥FH，∴EI=IH，在Rt△FEI中，∠EFI=30°，∴FI= FE，∴FH=BH+FB=FE，∴FA+FB=FE．