Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于N，交BD于F，連結AF、CE．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）當四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形AECF是菱形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ABCD是菱形時，四邊形AECF是菱形，證明見解析.

【解析】（1）根據ABCD為平行四邊形，得到AD與BC平行且相等，由AM垂直于BC，CN垂直于AD，得到AM與CN平行，再由平行四邊形ABCD，得到BC與AD平行，BC=AD，進而確定出AMCN為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到AN=CM，進而得到DN=BM，利用ASA得證；（2）利用菱形的性質可得AC⊥EF，由全等三角形的性質

可得AE=CF，由平行四邊形的判定定理可得四邊形AECF為平行四邊形，利用菱形的判定定理得出結論.

證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∠BAD=∠BCD，

∵MA⊥AN，NC⊥BC，∴∠BAM=∠DCN，

在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF，AB=CD，∠BAM=∠DCN，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）四邊形ABCD是菱形時，四邊形AECF是菱形．

∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，

∵MA⊥AN，NC⊥BC，∴AM∥CN，∴四邊形AECF為平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥EF，∴四邊形AECF為菱形．

“點睛”此題考查了平行四邊形和菱形判定與性質，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．