Question

【題目】閱讀材料：“最值問題”是數學中的一類較具挑戰性的問題．其實，數學史上也有不少相關的故事，如下即為其中較為經典的一則：海倫是古希臘精通數學、物理的學者，相傳有位將軍曾向他請教一個問題﹣﹣如圖1，從A點出發，到筆直的河岸l去飲馬，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？海倫輕松地給出了答案：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB＝A′B 的值最小．

解答問題：

（1）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

（2）如圖3，已知菱形ABCD的邊長為6，∠DAB＝60°．將此菱形放置于平面直角坐標系中，各頂點恰好在坐標軸上．現有一動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度，沿A→C的方向，向點C運動．當到達點C后，立即以相同的速度返回，返回途中，當運動到x軸上某一點M時，立即以每秒1個單位的速度，沿M→B的方向，向點B運動．當到達點B時，整個運動停止．

①為使點P能在最短的時間內到達點B處，則點M的位置應如何確定？

②在①的條件下，設點P的運動時間為t（s），△PAB的面積為S，在整個運動過程中，試求S與t之間的函數關系式，并指出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）PA+PC的最小值是2；（2）①點M的位置是（，0）時，用時最少；②S與t之間的函數關系式是當3＜t≤4時，S＝18﹣3t；當0＜t≤3時，S＝3t．當4＜t≤6時，S＝﹣3t+18．

【解析】

（1）延長AO交圓O于M，連接CM交OB于P，連接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最小；

（2）①根據運動速度不同以及運動距離，得出當PB⊥AB時，點P能在最短的時間內到達點B處；

②根據三角形的面積公式求出從A到C時，s與t的關系式和從C到（，0）以及到B的解析式．

解：（1）延長AO交圓O于M，連接CM交OB于P，連接AC，

則此時AP+PC＝PC+PM＝CM最小，

∵AM是直徑，∠AOC＝60°，

∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，

∴AC＝AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM＝＝2．

答：PA+PC的最小值是2．

（2）①根據動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度，沿A→C的方向，向點C運動．當到達點C后，立即以相同的速度返回，返回途中，當運動到x軸上某一點M時，立即以每秒1個單位的速度，沿M→B的方向，向點B運動，即為使點P能在最短的時間內到達點B處，

∴當PB⊥AB時，根據垂線段最短得出此時符合題意，

∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，

∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3，

在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝AP，由勾股定理得：AP＝4，BP＝2，

∴點M的位置是（，0）時，用時最少．

②當0＜t≤3時，AP＝2t，

∵菱形ABCD，

∴∠OAB＝30°，

∴OB＝AB＝3，

由勾股定理得：AO＝CO＝3，

∴S＝AP×BO＝×2t×3＝3t；

③當3＜t≤4時，AP＝6﹣（2t﹣6）＝12﹣2t，

∴S＝AP×BO＝×（12﹣2t）×3＝18﹣3t．

當4＜t≤6時，

S＝AB×BP＝×6×[2﹣（t﹣4）]＝﹣3t+18，

答：S與t之間的函數關系式是當3＜t≤4時，S＝18﹣3t；當0＜t≤3時，S＝3t．當4＜t≤6時，S＝﹣3t+18．