Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC分別交AC、AB的延長線于點E、F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若AC=4，CE=2，求的長度．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，由OA=OD知∠OAD=∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE=∠DAO，據此可得∠DAE=∠ADO，繼而知OD∥AE，根據AE⊥EF即可得證；

（2）作OG⊥AE，知AG=CG=AC=2，證四邊形ODEG是矩形得OA=OB=OD=CG+CE=4，再證△ADE∽△ABD得AD2=48，據此得出BD的長及∠BAD的度數，利用弧長公式可得答案．

（1）如圖，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠EAF，

∴∠DAE=∠DAO，

∴∠DAE=∠ADO，

∴OD∥AE，

∵AE⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

（2）如圖，作OG⊥AE于點G，連接BD，

則AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，

∴四邊形ODEG是矩形，

∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，

∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，

∴△ADE∽△ABD，

∴，即，

∴AD2=48，

在Rt△ABD中，BD==4，

在Rt△ABD中，∵AB=2BD，

∴∠BAD=30°，

∴∠BOD=60°，

則的長度為．