Question

【題目】如圖，點A、C分別是一次函數y＝﹣x+3的圖象與y軸、x軸的交點，點B與點C關于原點對稱，二次函數y＝x2+bx+c的圖象經過點B，且該二次函數圖象上存在一點D，使四邊形ABCD能構成平行四邊形．

（1）求二次函數的表達式；

（2）動點P從點A到點D，同時動點Q從點C到點A都以每秒1個單位的速度運動，設運動時間為t秒．

①當t為何值時，有PQ丄AC？

②當t為何值時，四邊形PDCQ的面積最小？此時四邊形PDCQ的面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）①當t＝秒時，PQ⊥AC，②當t＝時，四邊形PDCQ的面積最小，最小面積為

【解析】

（1）先利用一次函數的解析式確定A點和C點坐標，再利用點B與點C關于原點對稱得到點B點坐標和BC的長，接著利用平行四邊形的性質求出D點坐標，然后把點B和點D的坐標代入二次函數y＝x2+bx+c得關于b、c的方程組，再解方程組求出b、c即可得到二次函數表達式；

（2）①先利用勾股定理計算出AC＝5，再利用t表示出AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，當PQ⊥AC時可證明△APQ∽△CAO，則利用相似比得到，解得t＝，然后解方程求出t即可；

②作QH⊥AD于H，如圖，先證明△AQH∽△CAO，利用相似比可表示出QH＝（5﹣t），再根據三角形面積公式，利用S四邊形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP得到四邊形PDCQ的面積＝t2﹣t+12，然后根據二次函數的性質求解．

解：（1）當x＝0，y＝﹣x+3＝3，則點A（0，3），

當y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，則點C（4，0），

∵點B與點C關于原點對稱，

∴點B（﹣4，0），BC＝8，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥x軸，AD＝BC＝8，

∴D（8，3），

將點B（﹣4，0），點D（8，3）代入二次函數y＝x2+bx+c得，解得，

∴二次函數表達式y＝x2﹣x﹣3；

（2）①∵A（0，3），C（4，0），

∴AC＝＝5，

，當點P運動了t秒時，則AP＝t，CQ

②作QH⊥AD于H，如圖，

∵∠HAQ＝∠OCA，

∴△AQH∽△CAO，

∴，即，解得QH＝（5﹣t），

∴S四邊形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP

＝38﹣t（5﹣t）

＝t2﹣t+12

＝（t﹣）2+，

∴當t＝時，四邊形PDCQ的面積最小，最小面積為．