Question

【題目】如圖，直線y＝x+a與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，拋物線y＝x2+bx+c經過點A，B．點M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線分別交直線AB及拋物線于點P，N．

（1）填空：點B的坐標為　 　，拋物線的解析式為　 　；

（2）當點M在線段OA上運動時（不與點O，A重合），

①當m為何值時，線段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN為直角三角形時m的值；

（3）若拋物線上有且只有三個點N到直線AB的距離是h，請直接寫出此時由點O，B，N，P構成的四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）（0，﹣3），y＝x2﹣x﹣3；（2）①是3，②3或；（3）6或6+6或6﹣6．

【解析】

(1)把點A的坐標代入直線表達式y＝x+a，求出a=-3，把點A、B的坐標代入二次函數表達式，即可求值.

(2) ①點P（m，m﹣3），點N（m，m2﹣m﹣3，求出PN值的表達式，即可求解，

②分∠BNP＝90°，∠NBP＝90°，∠BPN＝90°三種情況，分別求解.

(3)若拋物線上只有三個點N到直線AD的距離是h,則只能出現：在AB直線下方拋物線與過點N的直線與拋物線有一個交點N，在直線AB上方的交點有兩個，分別求解即可.

解：（1）把點A坐標代入直線表達式y＝x+a，

解得：a＝﹣3，則：直線表達式為：y═x﹣3，令x＝0，則：y＝﹣3，

則點B坐標為（0，﹣3），

將點B的坐標代入二次函數表達式得：c＝﹣3，

把點A的坐標代入二次函數表達式得：×16+4b﹣3＝0，

解得：b＝﹣，

故拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣3，

（2）①∵M（m，0）在線段OA上，且MN⊥x軸，

∴點P（m，m﹣3），N（m，m2﹣m﹣3），

∴PN＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣（m﹣2）2+3，

∵a＝﹣＜0，

∴拋物線開口向下，

∴當m＝2時，PN有最大值是3，

②當∠BNP＝90°時，點N的縱坐標為﹣3，

把y＝﹣3代入拋物線的表達式得：﹣3＝m2﹣m﹣3，解得：m＝3或0（舍去m＝0），

∴m＝3；

當∠NBP＝90°時，∵BN⊥AB，兩直線垂直，其k值相乘為﹣1，

設：直線BN的表達式為：y＝﹣x+n，

把點B的坐標代入上式，解得：n＝﹣3，則：直線BN的表達式為：y＝﹣x﹣3，

將上式與拋物線的表達式聯立并解得：m＝或0（舍去m＝0），

當∠BPN＝90°時，不合題意舍去，

故：使△BPN為直角三角形時m的值為3或；

（3）∵OA＝4，OB＝3，

在Rt△AOB中，tanα＝，則：cosα＝，sinα＝，

∵PM∥y軸，

∴∠BPN＝∠ABO＝α，

若拋物線上有且只有三個點N到直線AB的距離是h，

則只能出現：在AB直線下方拋物線與過點N的直線與拋物線有一個交點N，在直線AB上方的交點有兩個．

當過點N的直線與拋物線有一個交點N，

點M的坐標為（m，0），設：點N坐標為：（m，n），

則：n＝m2﹣m﹣3，過點N作AB的平行線，

則點N所在的直線表達式為：y＝x+b，將點N坐標代入，

解得：過N點直線表達式為：y＝x+（n﹣m），

將拋物線的表達式與上式聯立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，

△＝144﹣3×4×（﹣12+3m﹣4n）＝0，

將n＝m2﹣m﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，

解得：m＝2，則點N的坐標為（2，﹣），

則：點P坐標為（2，﹣），

則：PN＝3，

∵OB＝3，PN∥OB，

∴四邊形OBNP為平行四邊形，則點O到直線AB的距離等于點N到直線AB的距離，

即：過點O與AB平行的直線與拋物線的交點為另外兩個N點，即：N′、N″，

直線ON的表達式為：y＝x，將該表達式與二次函數表達式聯立并整理得：

x2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±2，

則點N′、N″的橫坐標分別為2+2，2﹣2，

作NH⊥AB交直線AB于點H，

則h＝NH＝NPsinα＝，

作N′P′⊥x軸，交x軸于點P′，則：∠ON′P′＝α，ON′＝＝（2+2），

S四邊形OBPN＝BPh＝＝6，

則：S四邊形OBP′N′＝S△OP′N′+S△OBP′＝6+，

同理：S四邊形OBN″P″＝﹣6，

故：點O，B，N，P構成的四邊形的面積為：6或6+6或6﹣6．