Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交BD的延長線于點E，CE＝BC．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3．

【解析】

（1）連接OE，根據等腰三角形的性質得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠1+∠5＝90°得到∠2+∠3＝90°，得∠OEC＝90°，于是得到結論；

（2）設⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r+2，由OE2+CE2＝OC2得到關于r 的方程，即可求出半徑．

解：（1）如圖，連接OE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠1+∠5＝90°．

∵CE＝BC，

∴∠1＝∠2．

∵OE＝OD，

∴∠3＝∠4．

又∵∠4＝∠5，

∴∠3＝∠5，

∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，

∴OE⊥CE．

∵OE是⊙O的半徑，

∴CE是⊙O的切線．

（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝，

BC＝CE＝4．

設⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r+2，

在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，

∴OE2+CE2＝OC2，

∴r2+42＝（r+2）2，

解得r＝3，

∴⊙O的半徑為3．