Question

【題目】如圖，一張半徑為的圓形紙片，點為圓心，將該圓形紙片沿直線折疊，直線交于兩點．

（1）若折疊后的圓弧恰好經過點，利用直尺和圓規在圖中作出滿足條件的一條直線（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此時線段的長度．

（2）已知是一點，．

①若折疊后的圓弧經過點，則線段長度的取值范圍是________．

②若折疊后的圓弧與直線相切于點，則線段的長度為_________．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析，；（2）①；②

【解析】

（1）連接AO，直線l垂直平分PO．，在Rt△AHO中即可求解；

（2）①分兩種情況求解；

②過O作弦AB的垂直與圓交于點D，與弧AB交于點C，與AB交于點E，過M作OM的垂線，兩條垂線的交點為O'，連接AO，得到OO'垂直平分AB，O'為弧ABM所在圓的圓心，，在Rt△ADO中即可求解；

（1）如圖，直線為所求，連接．

∵點與點關于直線對稱，

∴直線垂直平分．

∴．

在中，

∵，

∴．

在中，

∵，為半徑，

∴．

（2）如圖1：

∵弧AB翻折與M重合，OM=1，

∴DM=1，

在Rt△ADO中，AO=3，DO=2，

∴；

如圖2：

∵弧AB翻折與M重合，OM=1，

∴MD=2，DO=1，

在Rt△ADO中，AO=3，

∴，

∴，

故答案為；

（3）如圖3：過O作弦AB的垂線與圓O交于點C，與AB交于點D，連接OM，過點M作OM的垂線，兩條垂線的交點為O'，連接AO，

∴OO'垂直平分AB，O'為弧ABM所在圓的圓心，

∵折疊后的圓弧與直線OM相切于點M，

∴MO'=3，CO=EO'，在Rt△OO'M中，OM=1，

∴，

在Rt△ADO中，，AO=3，

∴，

∴；

故答案為