Question

【題目】綜合與探究

如圖是一個正方形紙片，如果將正方形紙片繞點逆時針旋轉角度，得到正方形，交于點，的延長線交于點，連接、．

（1）求證：平分；

（2）直接寫出線段、、之間的數量關系；

（3）連接，，，，試探究在旋轉過程中，四邊形能否成為矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）能，當點為中點時，四邊形為矩形，理由見解析

【解析】

（1）根據正方形的性質和旋轉的性質證明，則有，則結論可證；

（2）通過證明和，得出，則有；

（3）當點為中點時，通過中點和全等三角形的性質得出，則有四邊形為平行四邊形，又因為，則可證明四邊形為矩形．

（1）證明：∵正方形繞點旋轉得到正方形，

∴，，

在和中，

∴，

∴，

即平分．

（2），理由如下：

，

．

∵正方形繞點旋轉得到正方形，

∴，，

，

在和中，

∴，

∴．

，

．

（3）能，當點為中點時，四邊形為矩形，理由如下：

如圖，

∵點為中點．

∴．

∵，由（1）知，

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形．

又∵，

∴四邊形為矩形．