Question

【題目】如圖，在△ABC中，D、E、F分別是各邊的中點，BH是AC邊上的高．

（1）求證：四邊形DBEF是平行四邊形；（2）求證：∠DFE＝∠DHE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據三角形中位線定理得到DF∥BC，EF∥AB，于是得到結論；

（2）根據平行線的性質得到∠A＝∠EFH，再在Rt△ABH中利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質得到DA＝DH，于是∠EFH＝∠FHD，同理，∠CHE＝∠AFD，根據平角的定義即可得到結論．

證明：（1）∵D、E、F分別是各邊的中點，

∴DF和EF是△ABC的中位線，

∴DF∥BC，EF∥AB，

∴DF∥BE，EF∥BD，

∴四邊形DBEF是平行四邊形；

（2）∵EF∥AB，∴∠A＝∠EFH，

∵BH⊥AC，∴∠AHB＝90°，

∵D為AB的中點，

∴AD＝DH，

∴∠AHD＝∠A，

∴∠EFH＝∠FHD，

同理，∠CHE＝∠AFD，

∴∠DFE＝∠DHE．