Question

【題目】如圖，拋物線l：y=﹣x2+bx+c（b，c為常數），其頂點E在正方形ABCD內或邊上，已知點A（1，2），B（1，1），C（2，1）．

（1）直接寫出點D的坐標_____________；

（2）若l經過點B，C，求l的解析式；

（3）設l與x軸交于點M，N，當l的頂點E與點D重合時，求線段MN的值；當頂點E在正方形ABCD內或邊上時，直接寫出線段MN的取值范圍；

（4）若l經過正方形ABCD的兩個頂點，直接寫出所有符合條件的c的值．

Answer 1

【答案】（1）D點的坐標為（2，2）；（2）y=﹣x2+3x﹣1；（3）2≤MN≤；（4）所有符合條件的c的值為﹣1，1，﹣2．

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質，可得D點的坐標；

（2）根據待定系數法，可得函數解析式；

（3）根據頂點橫坐標縱坐標越大，與x軸交點的線段越長，根據頂點橫坐標縱坐標越小，與x軸交點的線段越短，可得答案；

（4）根據待定系數法，可得c的值，要分類討論，以防遺漏．

試題解析：解：（1）由正方形ABCD內或邊上，已知點A（1，2），B（1，1），C（2，1），得D點的橫坐標等于C點的橫坐標，即D點的橫坐標為2，D點的縱坐標等于A點的縱坐標，即D點的縱坐標為2，D點的坐標為（2，2）；

（2）把B（1，1）、C（2，1）代入解析式可得：，解得：

所以二次函數的解析式為y=﹣x2+3x﹣1；

（3）由此時頂點E的坐標為（2，2），得：拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+2

把y=0代入得：﹣（x﹣2）2+2=0

解得：x1=2﹣，x2=2+，即N（2+，0），M（2﹣，0），所以MN=2+﹣（2﹣）=2．

點E的坐標為B（1，1），得：拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1

把y=0代入得：﹣（x﹣1）2+1=0

解得：x1=0，x2=2，即N（2，0），M（0，0），所以MN=2﹣0=2．

點E在線段AD上時，MN最大，點E在線段BC上時，MN最小；

當頂點E在正方形ABCD內或邊上時，2≤MN≤2；

（4）當l經過點B，C時，二次函數的解析式為y=﹣x2+3x﹣1，c=﹣1；

當l經過點A、D時，E點不在正方形ABCD內或邊上，故排除；

當l經過點B、D時，，解得：，即c=﹣2；

當l經過點A、C時，，解得，即c=1；

綜上所述：l經過正方形ABCD的兩個頂點，所有符合條件的c的值為﹣1，1，﹣2．