Question

【題目】如圖1，，是線段上的一個動點，分別以為邊，在的同側構造菱形和菱形，三點在同一條直線上連結，設射線與射線交于.

（1）當在點的右側時，求證：四邊形是平形四邊形.

（2）連結，當四邊形恰為矩形時，求的長.

（3）如圖2，設，，記點與之間的距離為，直接寫出的所有值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）FG＝；（3）d＝14或.

【解析】

（1）由菱形的性質可得AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP，由平行線的性質可得∠FPE＝∠BDP，可得PF∥BD，即可得結論；

（2）由矩形的性質和菱形的性質可得FG＝PB＝2EF＝2AP，即可求FG的長；

（3）分兩種情況討論，由勾股定理可求d的值；點G在DP的右側，連接AC，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H；若點G在DP的左側，連接AC，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H．

（1）∵四邊形APEF是菱形

∴AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，

∵四邊形PBCD是菱形

∴PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP

∴∠APE＝∠PDC

∴∠FPE＝∠BDP

∴PF∥BD，且AP∥EF

∴四邊形四邊形FGBP是平形四邊形；

（2）若四邊形DFPG恰為矩形

∴PD＝FG，PE＝DE，EF＝EG，

∴PD＝2EF

∵四邊形APEF是菱形，四邊形PBCD是菱形

∴AP＝EF，PB＝PD

∴PB＝2EF＝2AP，且AB＝10

∴FG=PB＝.

（3）如圖，點G在DP的右側，連接AC，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H，

∵FE＝2EG，

∴PB＝FG＝3EG，EF＝AP＝2EG

∵AB＝10

∴AP+PB＝5EG＝10

∴EG＝2，

∴AP＝4，PB＝6＝BC，

∵∠ABC＝120°，

∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB

∴BH＝BC＝3，CH＝BH＝3

∴AH＝13

∴AC＝＝14

若點G在DP的左側，連接AC，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H

∵FE＝2EG，

∴PB＝FG＝EG，EF＝AP＝2EG

∵AB＝10，

∴3EG＝10

∴EG＝

∴BP＝BC＝

∵∠ABC＝120°，

∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB

∴BH＝BC＝，CH＝BH＝

∴AH＝

∴AC＝

綜上所述：d＝14或.