Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC，∠ABC=90°，頂點(diǎn)A在第一象限，頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上（C在B的右側(cè)），，△ADC與△ABC關(guān)于AC所在的直線對(duì)稱.

（1）當(dāng)OB=2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）若點(diǎn)和點(diǎn)在同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）的長(zhǎng)為3

【解析】

（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得DC=BC，∠ACD=∠ACB，利用平角定義可求出∠DCE的度數(shù)，利用∠DCE的三角函數(shù)可求出CE和DE的長(zhǎng)，根據(jù)OE=OB+BC+CE可求出OE，即可得點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）設(shè)，可用a表示出點(diǎn)A坐標(biāo)，由（1）得CE、DE的長(zhǎng)，可用a表示出點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征列方程求出a的值即可得答案.

（1）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵，

∴，

∴，

∵△ADC與△ABC關(guān)于AC所在的直線對(duì)稱，

∴DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，

∴∠DCE=180°-60°-60°=60°，

∴CE=CD·cos∠DCE=1，DE=CD·sin∠DCE=，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是.

（2）設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，

由（1）得：，

∵BC=2，

∴OE=a+2+1=3+a，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

∵點(diǎn)和點(diǎn)在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，

∴，

解得：，即的長(zhǎng)為3.