Question

【題目】綜合與探究：在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點.過動點作平行于軸的直線，直線與拋物線相交于點，.線段的中點為.

（1）求拋物線的表達式；

（2）若，且點到軸的距離正好等于時，求的值；

（3）直線上是否存在一點，使得是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值為；（3）存在，的值為4或2

【解析】

(1)把和點坐標分別代入表達式求出即可；

(2)因為線段的中點為，所以點H在拋物線的對稱軸上，進而得出點H的坐標，可以得出E、F點的坐標，把其坐標代入表達式解出m值即可;

(3)使得是以為直角邊的等腰直角三角形重點明白有幾種情況，求解時利用全等三角形知識點易得m的值.

（1）拋物線經過點和點，

∴，

解得.

∴拋物線的表達式為.

（2）∵.

∴拋物線的對稱軸為直線.

∴點的坐標為.

∴點，兩點的坐標分別為，.

∵點在拋物線上，

∴.

解得或（不合題意，舍去）.

∴的值為.

（3）①當點C為等腰直角三角形的頂點時，如下圖所示：

∵

∴

在和中

∴

∴

∴

②當點B為等腰直角三角形的頂點時，如下圖所示：

過點作軸垂足為

同理可得

∴

∴

綜上所述：的值為4或2.